Saturday, August 16, 2014

Tự do và văn hóa

Cập nhật: tôi mới đọc được vài ý kiến về việc này ở đây. Tôi thấy ngạc nhiên ở hai chỗ: có người thật sự giận dữ vì bài báo của Trí Thức Trẻ và nhiều người làm báo ủng hộ chuyện phạt và đình bản tờ báo này. Tôi nghĩ một người chẳng quen biết gì mình, tự dưng chửi mình ngu, thì kết luận của tôi là người đó không bình thường, chẳng đáng bận tâm. Mà có phải chửi mình đâu, tự dưng mình gắn mình với cái identity đó làm gì cho mệt nhỉ? Còn hoan hô người ta "xử luật rừng" với đồng nghiệp của mình thì chẳng khác nào tự mình tuyên bố "mai mốt ông xử tôi vậy cũng được".

Sau khi phạt 207 triệu đồng và đình bản tờ Trí Thức Trẻ vì dám đăng bài chê gái miền Tây "gây mất đoàn kết dân tộc", trên đà chiến thắng tôi đề nghị Bộ 4T nên phạt và đình bản tất cả các tờ báo đã dám chê ỏng chê eo đàn ông Việt. Tính ra thì mấy bài viết này còn gây chia rẽ dân tộc hơn cả bài báo của tờ Trí Thức Trẻ, vì chắc chắn đàn ông Việt nhiều hơn gái miền Tây rồi. Riêng cá nhân tôi thì tôi sẽ đi tìm một một việc làm mới - tôi không thể làm việc cho một công ty nghĩ rằng đàn ông Việt, trong đó có tôi, quá tệ!


Nghiêm túc mà nói thì bài báo của Trí Thức Trẻ là một trò đùa ngu ngốc và không đáng để bàn đến. Ý tưởng của nó quá ấu trĩ đến nỗi tôi chẳng thấy có chút xíu hứng thú nào để phản bác. Nhưng việc người ta xử lý nó làm cho câu chuyện trở nên thú vị. Có thể xếp bài báo của Trí Thức Trẻ vào dạng hate speech, nghĩa là những phát biểu dựa vào chủng tộc, tôn giáo, nguồn gốc, xu hướng tình dục, v.v. để kích động sự thù hận hay ghét bỏ dành cho một người hay một nhóm người. Tôi không nghĩ đây là mục tiêu của người viết bài, họ chỉ muốn tạo mâu thuẫn để thu hút độc giả dễ dãi, nhưng đây là chỗ duy nhất có thể phạm luật của người viết bài. Muốn luận tội thì phải ra tòa, thành ra tôi rất ngạc nhiên khi Bộ 4T lại có quyền đóng cửa và phạt một tờ báo, mà không cần phải thông qua bất kỳ tòa án nào cả. Liệu VCCorp, công ty chủ quản của tờ Trí Thức Trẻ, có kiện Bộ 4T ra tòa? Tôi nghĩ đó sẽ là một vụ kiện thú vị mà tôi sẽ theo đuổi nếu tôi là người đứng đầu VCCorp. Tôi muốn biết cơ sở pháp lý nào mà Bộ 4T có quyền đình bản một tờ báo, luật đó có vi hiến hay không; tôi muốn hiểu người ta định nghĩa thế nào là gây mất đoàn kết dân tộc và chứng minh rằng bài báo của Trí Thức Trẻ đã gây ra điều đó với những tác hại cụ thể.

Luật các nước quy định về hate speech rất khác nhau. Nhiều nước dân chủ và có tự do ngôn luận có luật hình sự về hate speech, vì người ta e ngại bạo lực có thể phát sinh nếu bị kích động không giới hạn. Nhưng xử lý hate speech phải ra tòa, phải mở hiến pháp ra xem, nếu không sẽ dễ dẫn đến cản trở quyền tự do ngôn luận của người dân, khiến cho người ta tự kiểm duyệt và từ đó làm cho xã hội không còn dân chủ nữa, thành ra người ta rất cẩn thận, chứ không xử lý nhanh như nước mình. Luật của Mỹ không xử phạt hate speech, trừ khi phát biểu đó tạo ra nguy hiểm tức thời. Nghĩa là luật nhấn mạnh đến hậu quả của bài phát biểu, chứ không phải nội dung của nó. Bản thân tôi ủng hộ cách làm này, vì nó cho mỗi người một cơ hội để tự mình suy nghĩ và đánh giá về những gì đã tiếp nhận.

Tôi không rõ luật Việt Nam quy định về hate speech như thế nào, nhưng tôi thấy chính quyền, báo chí, truyền hình và ngay cả trong sách giáo khoa có nhiều hate speech còn nặng nề hơn. Ví dụ như người ta gọi những người đi lính cho chính quyền Sài Gòn cũ là ngụy quân. Đây là gì nếu không phải là chia rẽ dân tộc, khi mà nhiều người dân Việt Nam rơi vào nhóm này? Chính quyền có thể khác nhau, ý thức hệ có thể khác nhau, nhưng người mang thân đi giúp nước vào thời nào cũng cao cả, cũng là anh hùng, không thể là giả được. Thành ra nhân tiện xử báo Trí Thức Trẻ, hay là chúng ta xử luôn tất cả trường hợp gây mất đoàn kết dân tộc như thế này?

--

Một học giả người Mỹ từng nói rằng vấn đề lớn nhất của việc đấu tranh cho quyền con người là người ta phải dành phần lớn thời gian để bảo vệ quyền của bọn vô lại [1]. Bởi dẫu sao đi chăng nữa thì họ vẫn là con người. Khi cảnh sát Mỹ bắt sống được một trong hai thủ phạm của vụ đánh bom cuộc đua marathon ở Boston cách đây hơn năm ngoái, điều đầu tiên mà người Mỹ tranh luận là liệu anh này có được nhắc nhớ về quyền Miranda - quyền được im lặng, không phải trả lời thẩm vấn của cảnh sát và có luật sư riêng bảo vệ quyền lợi ngay từ khi bị bắt. Quyền Miranda có nguồn gốc từ Tu Chính Án Số Năm trong Bộ Luật về Quyền Con Người của Hiến Pháp Mỹ. Nhiều người Mỹ hiểu rằng nếu lúc đó họ không bảo vệ quyền của nghi phạm, dẫu người đó có thể đã phạm tội tày trời, thì một ngày nào đó sẽ chẳng có ai bảo vệ quyền của chính họ, khi họ phải một mình đối mặt với cảnh sát và bộ máy chuyên chính.

Tôi chẳng ưa gì mấy tờ báo lá cải và cái đám phóng viên chuyên ngồi bịa chuyện giật gân éo le rẻ tiền. Cả đám bọn chúng chẳng đem lại lợi ích gì cho xã hội; chúng chỉ tạo ra rác và rác và rác, đọc vào thêm dơ cái đầu của mình. Nhưng tôi nghĩ ai cũng có quyền nói và báo chí có quyền tự do xuất bản những gì họ muốn; chuyện yêu hay ghét báo lá cải không thể làm thay đổi cái quyền tự nhiên này. Tôi ghét báo lá cải thì tôi không đọc chúng, nhưng tôi vẫn ủng hộ và phải lên tiếng để bảo vệ quyền tự do xuất bản của họ, nhất là khi họ đang bị đàn áp như bây giờ. Sẽ thật vô nghĩa nếu chúng ta chỉ bảo vệ quyền tự do của những người hay những tổ chức có ý kiến giống với mình. Sức mạnh và lợi ích của quyền tự do ngôn luận chỉ trở nên hiện hữu khi chúng ta ra sức bảo vệ những người có ý kiến hoàn toàn trái ngược.

Tôi muốn những tờ báo như Trí Thức Trẻ sập tiệm, nhưng không phải là bị chính quyền đóng cửa, mà tôi sẽ ráng thuyết phục những người khác không đọc chúng nữa. Nếu tôi thành công, mấy tờ báo lá cải sẽ chết một cách tự nhiên. Tôi sẽ không bao giờ thành công, bởi trong bất kỳ xã hội nào cũng có nhiều người có nhu cầu tìm đọc những thứ mà báo lá cải viết, nhưng đây chính là mấu chốt của vấn đề. Ai cũng có quyền tự do quyết định mình sẽ đọc cái gì và suy nghĩ về cái gì. Không ai có quyền áp đặt người khác phải làm theo cách họ nghĩ là đúng. Không ai có quyền áp đặt cả xã hội nên và không nên đọc cái gì. Mỗi người trưởng thành sẽ tự quyết định và tự chịu trách nhiệm về quyết định của họ. Chừng nào báo lá cải còn có ích cho nhiều người thì chừng đó chúng vẫn sống tốt.

Ở nước mình người ta hay nói đến tình trạng thờ ơ, lãnh cảm, vô cảm với tình hình đất nước hay thực trạng xã hội. Tôi nghĩ nguyên nhân sâu xa là xã hội không bảo vệ những người dám đưa ra những ý kiến trái chiều, dám nói lên những điều mà nhiều người sẽ không đồng ý. Nguồn gốc phát triển của xã hội đến từ sự tự do thể hiện của mỗi cá nhân và nhiều người chỉ bắt đầu nghĩ khác đi và lên tiếng khi biết rằng họ sẽ an toàn, dẫu ý kiến của họ có ngông cuồng, có điên khùng đến cỡ nào đi chăng nữa. Một bài báo dẫu ngu ngốc nhưng vô hại mà vẫn bị trừng phạt nặng nề như vậy thì thử hỏi có ai còn dám nói một cái gì đó thông minh, đáng suy nghĩ, nhưng trái ngược với ý chí của chính quyền và đám đông?

Cách đây mấy hôm tôi có nghe đài được một câu chuyện khá thú vị. Henry DeGroot là một học sinh trung học người Mỹ. Học kỳ vừa rồi Henry sang Trung Quốc du học, theo một chương trình trao đổi học sinh. Trong một lần đi giao lưu với các học sinh Trung Quốc, trước khi ra về thì một cậu học sinh Trung Quốc kêu Henry viết lưu bút bằng tiếng Anh. Thế là cậu ấy viết thế này: "Don't believe the lies your school and government tell you. Democracy is for cool kids. It's right to rebel". Không hiểu sao nhà trường phát hiện ra chuyện này, nên họ khiển trách và phạt Henry. Khi về lại Mỹ thì trường Henry đang theo học cũng trách rằng cậu ấy đã không tôn trọng người Trung Quốc và những gì cậu ấy viết đã làm tổn hại chương trình trao đổi học sinh. Điều làm tôi thấy thích thú là thái độ của Henry. Khi trả lời phỏng vấn Henry nói rằng cậu ấy không thấy hối hận vì chuyện này, bởi lẽ cậu ấy thật sự tin vào những gì mình nói và viết. "I don't believe the [US] school should be supporting a policy of suppressing free speech". Khi được yêu cầu viết thư xin lỗi, Henry viết thế này: "[...] in my culture, individualism and criticism are important and that we don't believe that any idea should be too taboo to talk about". Năm nay Henry 18 tuổi.

Ở chỗ tôi làm người ta có tổ chức một ngày hội văn hóa để nhân viên các nước có thể trưng bày, trình diễn, v.v. về văn hóa của nước mình và họ có hỏi xem hội người Việt Nam có muốn tham gia hay không. Chuyện này làm tôi suy nghĩ về văn hóa nói chung và văn hóa của người Việt Nam mình nói riêng. Tôi thấy văn hóa là một khái niệm rất rộng, nhưng mà tựu trung lại tôi thấy nội dung quan trọng nhất của một nền văn hóa là những cách cư xử, những giá trị được phần lớn người dân trong xã hội chấp nhận và quan trọng hơn hết là được họ bảo vệ. Như Henry đã nói ở trên, trong cái nền văn hóa [nước Mỹ] mà cậu sinh ra và lớn lên sự tự do cá nhân và tư duy phê phán rất quan trọng.

Người Mỹ tôn trọng và bảo vệ tiếng nói của mỗi cá nhân, bởi vì họ biết rằng xã hội muốn phát triển thì phải chào đón những ý kiến tư tưởng mới, dẫu chúng có trái chiều, đi ngược lại với hiểu biết hay những chuẩn mực hiện tại đến đâu. Hiền tài là nguyên khí quốc gia và đóng góp quan trọng nhất của những cá nhân xuất chúng chính là những phát kiến, những ý tưởng mới của họ. Nếu người dân không được nói, hay ai nói sẽ bị bắt, bị bỏ tù, bị làm hại, mất hết tất cả, thì còn ai dám nói gì nữa? Thậm chí người ta còn không dám nghĩ, chứ đừng nói là mở miệng ra! Khi mà cả xã hội còn rất ít người dám suy nghĩ và dám lên tiếng thì xã hội đó sẽ trở nên thế nào? Những vị khai quốc công thần nước Mỹ hiểu rõ điều này, thành ra hiến pháp của nước này bảo vệ quyền tự do thể hiện, tự do ngôn luận của người dân.

Quay trở lại với văn hóa của Việt Nam. Người Việt Nam mình không tôn trọng tự do cá nhân của người khác và cũng chẳng buồn quan tâm đến tự do cá nhân của chính bản thân mình. Tôi nghĩ không thể có bạn học sinh Việt Nam 18 tuổi nào có thể phát biểu và hành động như Henry DeGroot. Đơn giản vì chúng ta chưa từng được dạy dỗ như thế. Trường học dạy cho chúng ta biết tự kiểm duyệt, biết cái gì không nên nói, biết ghê sợ những người nói những điều ngược với những gì chúng ta được nhồi nhét, chứ không phải cách suy nghĩ để tự đánh giá những ý kiến trái chiều đó. Ở Việt Nam tự do rất phản động. Ai dám suy nghĩ và hành động trái với chính quyền không những sẽ bị chính quyền đàn áp, mà còn bị phần lớn xã hội tẩy chay, xa lánh. Thử đọc thư của đạo diễn Đỗ Minh Tuấn xin ra khỏi Ban Vận Động Văn Đoàn Độc Lập:
Tuy nhiên, thật không ngờ, sau khi ghi tên vào danh sách Ban Vận động, tôi đã nhận được rất nhiều phản ứng tiêu cực từ các tổ chức, cơ quan, gia đình và bè bạn như thể tôi đang tham gia vào một tổ chức phản động, đối lập thậm chí còn nguy hiểm hơn cả Nhân Văn Giai Phẩm ngày xưa. Gia đình lo lắng, bạn bè bị tổn thương, các đối tác không tiếp tục hợp đồng… khiến tôi chưa tham gia được việc gì với Văn đoàn  mà cuộc sống đã gặp nhiều đe doạ, cuộc sống gia đình đã chịu nhiều ảnh hưởng. 
[...] 
Tôi nghĩ rằng việc ghi tên vào danh sách Ban vận động cũng chỉ là một cách tỏ thái độ ủng hộ việc này, chứ tôi chưa hề có một đóng góp cụ thể nào cho công việc của Ban vận động. Không làm được gì cho Văn đoàn mà lại làm cho những người thân bạn bè và xã hội lo lắng, hồ nghi và xa lánh. Mặt khác, cũng đã có nhiều anh chị em tâm huyết và có vai trò tích cực hơn tôi đã xin rút tên do nhiều lý do khác nhau.
Tôi không biết nguyên nhân ở đâu. Có phải vì chúng ta bị kiểm duyệt và tự kiểm duyệt lâu ngày dài tháng, sống không có tự do quá lâu nên riết rồi chúng ta sợ tự do và những con người tự do? Hay là vì văn hóa Việt Nam chưa bao giờ tôn trọng và bảo vệ tự do? Hay là có một nguyên nhân sâu xa nào khác? Dẫu sao đi chăng nữa thì thực trạng này cần phải thay đổi, nếu chúng ta thật sự muốn dân giàu, nước mạnh, xã hội dân chủ, công bằng, văn minh.

Chúng ta phải xây dựng một nền văn hóa tối đa hóa cơ hội nhận ra rằng chúng ta đang sai, một văn hóa cảm ơn và tưởng thưởng cho những người phát hiện ra rằng chúng ta đã sai. Nếu chúng ta chỉ lắng nghe những ai nói đúng ý với mình thì không có cách nào phát hiện ra sai lầm cả. Thành ra cần phải chào đón những ý kiến tư tưởng mới, dẫu chúng là trái chiều, nghịch ý. Nhưng không phải ai nói gì chúng ta cũng tiếp thu; mà chúng ta cần tư duy phê phán để loại bỏ những ý kiến, tư tưởng dở ẹc. Mỗi người phải biết chọn lọc nên suy nghĩ và bàn luận về chuyện gì. Ý kiến mới sẽ được chào đón, nhưng ai cũng có quyền mổ xẻ, bàn luận, đánh giá, phê bình chúng. Rất ít người thấy thích thú khi bị người khác chỉ ra rằng họ đã sai, nhưng một trong những mục tiêu chính của một thể chế dân chủ là làm gia tăng cơ hội nhận ra rằng chúng ta đang sai, để có thể sửa sai kịp thời.

Tạo dựng được một nền văn hóa như thế không phải là chuyện một sớm một chiều và sự thật tôi cũng không biết được nên làm những việc cụ thể gì. Điều mà tôi biết là mọi thứ phải bắt đầu từ những người như tôi và bạn. Những người vô danh, hoàn toàn bình thường như chúng ta chính là hạt nhân của công cuộc thay đổi này, bởi lẽ văn hóa của một cộng đồng là gì nếu không phải là cách hành xử của một người vô danh trong cộng đồng đó. Nhìn vào cách cư xử của một người Nhật bất kỳ chúng ta có thể nhận ra văn hóa của họ. Chúng ta phải sống như những con người tự do nếu muốn xây dựng một nền văn hóa yêu tự do. Không có lựa chọn nào khác cả.

[1] Nguyên văn của H. L. Mencken: “The trouble with fighting for human freedom is that one spends most of one’s time defending scoundrels. For it is against scoundrels that oppressive laws are first aimed, and oppression must be stopped at the beginning if it is to be stopped at all.”

Monday, July 14, 2014

Từ đại số đến Bitcoin: 26, Fermat và tôi

26 là một trong những con số mà tôi yêu thích nhất: nó là số tự nhiên duy nhất nằm kẹp giữa một số bình phương (25) và một số lập phương (27).

Đây là một trong những phát hiện của Fermat, nhà toán học vĩ đại người Pháp sống vào thế kỷ 17. Fermat viết bên lề cuốn Arithmetica của Diophantus rằng nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $latex y^2 = x^3 - 2$ là $latex (3, \pm 5)$, nhưng ông không công bố bất kỳ chứng minh cụ thể nào cả (nghe quen không?!). Fermat còn thách thức các nhà toán học người Anh cùng thời chứng minh nó, nhưng ai cũng bó tay. Bẵng đi 80 năm sau, Euler công bố một chứng minh, nhưng ngặt nỗi, chứng minh của Euler sai. Bạn có thể tin được không? Euler vĩ đại đưa ra một chứng minh sai! Cho đến tận thế kỷ 19, gần 150 năm sau thời đại của Fermat, con người mới có đủ tri thức để chứng minh rằng Fermat đã đúng. Số 26 đúng là con số duy nhất nằm giữa một số bình phương và một số lập phương.

Chuyện này có liên quan gì đến tôi?

Tôi vô tình thấy bài toán này một vài năm trước và kể từ đó lâu lâu lại mất ăn mất ngủ vài buổi, vì chứng minh mãi không được. Tìm trên Internet cũng có vài chứng minh, nhưng mà chúng sử dụng kiến thức toán tôi không hiểu được. Tôi hầu như đã bỏ cuộc rồi, cho đến khi tôi bắt đầu học thêm toán vì muốn làm mật mã. Ai dè cái mớ toán mà tôi học lại có dây mơ rễ má với bài toán này.

Những kiến thức toán mà tôi sắp trình bày chẳng phải cao siêu gì, tôi nhớ không lầm thì chương trình năm nhất đại học của tôi có dạy hết, nhưng mà hồi xưa tôi không có chịu học, vì không có biết nó hay thế này :-).

Chứng minh của Euler

Đầu tiên Euler chuyển phương trình thành $latex x^3 = y^2 + 2$ (1). Ý tưởng chủ đạo là: a) phân tích vế phải của (1) thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau; b) vế trái là một số luỹ thừa bậc ba, cho nên cả hai thừa số của vế phải đều là lũy thừa bậc ba; c) từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Bài tập 1: cho $latex a, b, c \in \mathbf{Z}$ chứng minh rằng $latex a = x^3, b = y^3$ với $latex x, y \in \mathbf{Z}$ nếu như $latex c^3 = {ab}$ và $latex \gcd{(a, b)} = 1$, trong đó $latex \gcd{(a, b)}$ là ước số chung lớn nhất của $latex a$ và $latex b$.

Rõ ràng nếu chỉ xét trên $latex \mathbf{Z}$ thì không có cách nào phân tích được vế phải của (1) thành nhân tử cả. Nhưng toán học là trò chơi mà ở đó các nhà toán học đặt ra các luật chơi, càng ít càng tốt, rồi tự hỏi: cái thế giới mà chúng ta xây dựng từ những luật chơi này có gì hay ho và hữu dụng không? Khi mà nhóm luật chơi ban đầu không còn đem lại những kết quả thú vị nữa thì người ta sẽ thêm vào những luật chơi mới và lại đặt lại câu hỏi ở trên.

Tương tự như thế, để giải quyết những bài toán khó người ta thường thêm vào những luật chơi để tạo ra một thế giới mới, mạnh mẽ hơn, phổ quát hơn nhưng vẫn tương thích với thế giới cũ, rồi dùng những kết quả trong thế giới mới để giải quyết các bài toán trong thế giới cũ. Để giải quyết bài toán của Fermat, Euler thêm vào một luật chơi mới: tồn tại một số $latex \delta$ sao cho $latex \delta^2 = -2$. Nếu chúng ta chấp nhận luật chơi này thì vế phải của (1) sẽ phân tích được thành nhân tử với $latex x^3 = (y - \sqrt{-2}) (y + \sqrt{-2})$ (2).

Không đưa ra một chứng minh cụ thể, Euler chỉ lập luận rằng do $latex y - \sqrt{-2}$ và $latex y + \sqrt{-2}$ nguyên tố cùng nhau (Euler cũng không giải thích tại sao) nên mỗi thừa số phải là một lũy thừa bậc ba. Nghĩa là $latex \exists a, b, c, d \in \mathbf{Z}$ sao cho:
$latex y - \sqrt{-2} = (a + b\sqrt{-2})^3 = (a^3 - 6ab^2) + (3a^2b - 2b^3)\sqrt{-2} $ (3)
$latex y + \sqrt{-2} = (c + d\sqrt{-2})^3 = (c^3 - 6cd^2) + (3c^2d - 2d^3)\sqrt{-2}$ (4)

Vì $latex \sqrt{-2} \notin \mathbf{Z}$, nên từ (3) ta có $latex 3a^2b - 2b^3 = b(3a^2 - 2b^2) = -1$. Nghiệm của phương trình này là $latex a = \pm 1$ và $latex b = -1$. Tương tự như thế ta suy ra nghiệm của phương trình (4) là $latex c = \pm 1$ và $latex d = 1$. Từ đó tính được $latex y = \pm 5$. Do đó $latex (3, \pm 5)$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình (1).

Để thấy thiếu sót trong lập luận của Euler, chúng ta hãy thử dùng phương pháp này để giải phương trình $latex x^2 = y^2 + 5$. Theo Euler thì $latex \exists a, b, c, d \in \mathbf{Z}$ sao cho:
$latex y - \sqrt{-5} = (a + b\sqrt{-5})^2 = (a^2 - 5b^2) + (2ab)\sqrt{-2} $ (3)
$latex y + \sqrt{-5} = (c + d\sqrt{-5})^2 = (c^2 - 5c^2) + (2cd)\sqrt{-2}$ (4)

Suy ra $latex 2ab = -1$ và $latex 2cd = 1$ (vô lý). Do đó theo Euler phương trình $latex x^2 = y^2 + 5$ không có nghiệm nguyên, nhưng có thể thấy rằng $latex (3, 2)$ là một nghiệm.

Vậy Euler sai ở chỗ nào? Để hiểu chỗ sai của Euler, chúng ta cần phải hiểu chuyện gì xảy ra khi luật chơi mới được thêm vào.

Đại số trừu tượng

Trước khi tìm hiểu luật chơi mới, chúng ta cần phải nhìn lại những luật chơi đã có. Do đề bài là tìm nghiệm nguyên, luật chơi mà chúng ta quan tâm là những luật chi phối các số nguyên và các phép toán giữa chúng. Xét phép toán cộng trên tập $latex \mathbf{Z}$ chúng ta có thể thấy những luật chơi sau đây:
Nhóm phép cộng trên $latex \mathbf{Z}$
i) Đóng: $latex a + b \in \mathbf{Z}, \ \forall a, b \in \mathbf{Z}$
ii) Kết hợp: $latex a + (b + c) = (a + b) + c , \ \forall a, b, c \in \mathbf{Z}$
iii) Giao hoán: $latex a + b = b + a, \ \forall a, b \in \mathbf{Z}$
iv) Phần tử identity [1]: tồn tại một phần tử identity, ký hiệu là $latex 0_{\mathbf{Z}}$ thỏa điều kiện $latex a +  0_{\mathbf{Z}} = a, \ \forall a \in \mathbf{Z}$. Dễ dàng thấy rằng đối với phép cộng trên $latex \mathbf{Z}$ thì $latex  0_{\mathbf{Z}}$ chính là số 0.
v) Phần tử nghịch đảo: $latex \forall a \in \mathbf{Z}, \ \exists b \in \mathbf{Z}: a + b =  0_{\mathbf{Z}}$. Đối với phép cộng trên $latex \mathbf{Z}$ thì phần tử nghịch đảo của $latex a$ chính là $latex -a$.

Những luật chơi này chẳng có gì đặc biệt, nếu không muốn nói là hết sức tầm thường, nhưng tôi muốn nhấn mạnh: sự tầm thường của chúng chẳng qua là do chúng ta quá quen thuộc với phép cộng trên tập số nguyên. Bạn sẽ thấy 5 luật chơi này sâu sắc hơn nhiều, nếu biết rằng chúng vẫn đúng nếu chúng ta xét phép cộng hai điểm trên đường cong elliptic định nghĩa trên một trường hữu hạn - phép toán mà từ đó người ta xây dựng một thuật toán rất quan trọng trong Bitcoin.

Phép cộng trên $latex \mathbf{Z}$ chỉ là một ví dụ cụ thể của một cấu trúc đại số (algebraic structure) sâu sắc và tổng quát hơn nhiều, mà các nhà toán học gọi là nhóm Abel (Abelian group). Nếu phép toán trên một tập hợp không có tính giao hoán, nhưng vẫn thỏa đầy đủ các điều kiện còn lại (ví dụ như phép nhân hai ma trận) cấu trúc đại số được tạo ra vẫn được xem làm một nhóm, nhưng chúng ta chỉ xem xét nhóm Abel trong phạm vi bài viết này. Trừ khi có ghi chú cụ thể, từ đây về sau tôi sẽ dùng từ nhóm để chỉ nhóm Abel.

Một cách tổng quát, phép toán, ký hiệu là $latex +_{\mathbf{G}}$, trên tập $latex \mathbf{G}$ sẽ tạo thành một nhóm, nếu thỏa những điều kiện sau đây:
Định nghĩa nhóm 
i) Đóng: $latex a +_{\mathbf{G}} b \in \mathbf{G}, \ \forall a, b \in \mathbf{G}$
ii) Kết hợp: $latex a +_{\mathbf{G}}(b +_{\mathbf{G}} c) = (a +_{\mathbf{G}} b) +_{\mathbf{G}} c , \ \forall a, b, c \in \mathbf{G}$
iii) Giao hoán: $latex a +_{\mathbf{G}} b = b +_{\mathbf{G}} a, \ \forall a, b \in \mathbf{G}$
iv) Phần tử identity: tồn tại một phần tử identity, ký hiệu $latex 0_{\mathbf{G}}$ thỏa điều kiện $latex a +_{\mathbf{G}} 0_{\mathbf{G}} = a, \ \forall a \in \mathbf{G}$.
v) Phần tử nghịch đảo: $latex \forall a \in \mathbf{G}, \ \exists b \in \mathbf{G}: a +_{\mathbf{G}} b = 0_{\mathbf{G}}$.
Lưu ý: tôi dùng ký hiệu $latex +_{\mathbf{G}}$ để chỉ phép toán trên nhóm, nhưng không có nghĩa phép toán đó tương tự như phép cộng hai số nguyên.

Bài tập 2: cho $latex \mathbf{G}$ là một nhóm, chứng minh rằng:
a) $latex \mathbf{G}$ chỉ có duy nhất một phần tử identity.
b) Mọi phần tử của $latex \mathbf{G}$ chỉ có duy nhất một nghịch đảo.
c) $latex a +_{\mathbf{G}} b = a +_{\mathbf{G}} c \Longleftrightarrow b = c, \ \forall a,b,c \in \mathbf{G}$.

Trên tập $latex \mathbf{Z}$ thì những thuộc tính trong bài tập ở trên được mặc nhiên thừa nhận như là một phần của luật chơi, nhưng bây giờ chúng ta thấy rằng có thể chứng minh được chúng. Nói cách khác nhóm luật chơi mà chúng ta chọn ra đã bao gồm luôn những thuộc tính này. Do đó chọn lựa những luật chơi nào để tổng quát hóa lên là một vấn đề quan trọng. Nếu chọn thiếu thì chúng ta không thể xây dựng được những kết quả hữu ích, còn chọn thừa thì chúng ta lại sẽ không nhìn thấy được bức tranh toàn cảnh. Tại sao những luật chơi ở trên được chọn? Câu trả lời đơn giản là vì người ta thấy chúng vừa đủ.

Nhóm xuất hiện ở khắp nơi. Những thuật toán mã hóa khóa công khai phổ biến nhất được xây dựng dựa trên nhóm. Hàng xóm của tôi làm machine learning, tập trung vào nhận dạng giọng nói, một lĩnh vực tưởng chừng như chẳng liên quan gì đến nhóm hay đại số, nhưng một lần tôi thấy anh ấy đọc sách đại số, hỏi ra thì mới biết có một nhánh nghiên cứu mới trong ngành của anh ấy sử dụng các công cụ và tri thức của đại số trừu tượng (abstract algebra), tức là nhóm và các cấu trúc đại số khác, để giải quyết các vấn đề của machine learning.

Đây chính là sức mạnh của đại số trừu tượng. Chúng ta có thể quên đi bản chất của những phần tử và phép toán giữa chúng, mà chỉ cần tìm hiểu những tính chất của một nhóm tổng quát, suy ra từ tập luật chơi ban đầu, nhưng những tính chất này sẽ đúng trên tất cả các nhóm. Ví dụ như các định lý ở bài tập số 2 đúng với nhóm phép cộng trên $latex \mathbf{Z}$, nhóm phép nhân của trường hữu hạn $latex \mathbf{F}_p$ (sẽ nói đến sau), hay nhóm các điểm trên đường cong elliptic trên một trường hữu hạn, v.v. Nói cách khác, chúng ta chỉ cần tìm hiểu một lần và có thể dùng đi dùng lại tri thức về nhóm cho các ứng dụng rất khác nhau.

Ngoài phép cộng ra trên tập $latex \mathbf{Z}$ còn có phép nhân thỏa mãn các luật chơi sau đây:
Tính chất của phép nhân trên $latex \mathbf{Z}$
i) Đóng: $latex ab \in \mathbf{Z}, \ \forall a, b \in \mathbf{Z}$
ii) Kết hợp: $latex a(bc) = (ab)c, \ \forall a, b \in \mathbf{Z}$.
iii) Giao hoán: $latex ab = ba, \ \forall a, b \in \mathbf{Z}$.
iv) Phần tử identity: tồn tại phần tử identity, ký hiệu là $latex  1_{\mathbf{Z}}$, thỏa điều kiện $latex a1_{\mathbf{Z}} = a, \ \forall a \in \mathbf{Z}$. Dễ dàng thấy rằng đối với phép nhân trên $latex \mathbf{Z}$ thì $latex 1_{\mathbf{Z}}$ chính là số 1.
v) Phân phối trên phép cộng: $latex a(b + c) = ab + ac, \ \forall a, b, c \in \mathbf{Z}$.
Lưu ý rằng không có phần tử nào của $latex \mathbf{Z}$, ngoại trừ $latex \pm{1}$, có phần tử nghịch đảo theo phép nhân.

Một tập hợp với hai phép toán thỏa mãn các tính chất tương tự như phép cộng và nhân trên $latex \mathbf{Z}$ được gọi là vành (ring). $latex \mathbf{Z}$ là vành số nguyên. Tập hợp các số hữu tỉ $latex \mathbf{Q}$ với các tính chất thông thường của phép cộng và phép nhân tạo thành một vành. Tập hợp các số hữu tỉ $latex \mathbf{R}$ với các tính chất thông thường của phép cộng và phép nhân tạo thành một vành.

Lưu ý: tương tự như nhóm, tồn tại những vành mà phép nhân không có tính giao hoán. Cũng có vành mà phần tử identity của phép nhân không tồn tại. Do đó nói một cách chính xác vành mà chúng ta xét ở đây là vành giao hoán với phần tử identity của phép nhân, nhưng do tất cả các vành mà chúng ta quan tâm đều ở dạng này cho nên từ đây về sau tôi chỉ gọi chúng là vành.

Quay trở lại chứng minh của Euler. Nhắc lại, Euler thêm vào một luật chơi mới: tồn tại phần tử $latex \delta$ sao cho $latex \delta^2 = -2$. Xét tập $latex \mathbf{Z}[\sqrt{-2}] = \{a + b\delta: \ a, b \in \mathbf{Z}\}$.

Cho $latex x = a + b\delta, \ x' = a' + b'\delta$, tổng và tích của $latex x$ và $latex x'$ được định nghĩa như sau:
Phép cộng và nhân trên $latex \mathbf{Z}[\sqrt{-2}] $
$latex x + y = (a + a') + (b + b')\delta$
$latex xy =  (aa' - bb') + (ab' + a'b)\delta$
Bài tập 3: Chứng minh rằng tập $latex \mathbf{Z}[\sqrt{-2}]$ với hai phép toán định nghĩa như trên tạo thành một vành.

Dễ dàng thấy rằng $latex \mathbf{Z} \subset \mathbf{Z}[\sqrt{m}]$, trong đó $latex m < 0$. Người ta gọi $latex \mathbf{Z}$ là một vành con của $latex \mathbf{Z}[\sqrt{m}]$. Đây là điểm mấu chốt để thấy được chỗ sai trong lập luận của Euler: vì $latex \mathbf{Z}$ là vành con của $latex \mathbf{Z}[\sqrt{m}]$, một số tính chất của $latex \mathbf{Z}$ có thể không còn đúng trên $latex \mathbf{Z}[\sqrt{m}]$.

Sự khác biệt đó là: mọi số nguyên trên vành $latex \mathbf{Z}$ có thể được phân tích thành tích của các số nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất. Đây là định lý cơ bản của số học. Định lý này có vẻ hiển nhiên, nhưng lưu ý rằng nó không thuộc vào tập luật chơi ban đầu trong định nghĩa của một vành. Nói cách khác, từ tập luật chơi này, với một số vành nhất định, ta có thể chứng minh hoặc phủ định tính chất phân tích nhân tử duy nhất (unique factorization).

Trong phần sau chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất phân tích nhân tử duy nhất và chứng minh rằng nó đúng trên $latex \mathbf{Z}$ và $latex \mathbf{Z}[\sqrt{-2}]$, nhưng lại sai trên $latex \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$.

[1] Tôi không biết nên dịch identity element ra tiếng Việt sao cho hay. Ai biết chỉ giùm.